En los últimos tiempos la incorporación de la tecnología en el aula produjo cambios, no sólo con nuevas oportunidades en la enseñanza, sino también ha transformado en forma significativa el estudio de la matemática (Abar, 2014), y esto lleva consigo un cambio en la noción de qué es saber y hacer matemática (Fioriti, 2012).
Actualmente, y en particular con la geometría, hay un resurgimiento sobre la importancia del estudio de esta con software, que podemos observar por la cantidad y variedad de trabajos sobre el tema. Si bien la realidad en muchas aulas es otra, donde se continúa con una geometría memorística (Itzcovich, 2005), ya que se ha desdibujado el objeto de su enseñanza, principalmente en la escuela primaria, donde el aprendizaje de nombres y elementos de las figuras, cálculo de áreas y perímetros, han hecho que pierda su sentido (Alsina, 1997). Varios años atrás, el movimiento de las Matemáticas Modernas ha contribuido a que prácticamente desaparezca la geometría euclidiana favoreciendo otros temas como teoría de conjunto y lógica (Falsetti, 2015).
Entonces surgen los siguientes cuestionamientos: ¿Qué geometría deben conocer los docentes del nivel primario? ¿Cuál es el objeto de su estudio?
Todo lo anterior nos invita a considerar que es tiempo de re-aprender a enseñar geometría.
Tal vez por la formación de maestros y profesores que se ha alejado en la práctica de la esencia de su estudio, o bien: “…por la insistencia de los matemáticos en permanecer en los estrechos límites de su propia disciplina”…Gian Carlo Rota (citado en Villella, 2017, p.153) Con una mirada al futuro, la incorporación de la tecnología en al aula implica una innovación en la clase que obliga revisar nuestras concepciones sobre qué es la geometría, para qué se enseña, la organización de la gestión de la clase y sobre nuestro desarrollo profesional para los próximos años.
La enseñanza de la geometría
La geometría euclidiana: un poco de historia
Se podría afirmar que los egipcios inventaron la geometría con el fin de medir sus terrenos que, periódicamente, eran inundados por las aguas del Nilo. Pero todas las civilizaciones utilizaron algún conocimiento práctico de la misma, con una primera finalidad pragmática y le debemos a la Grecia Antigua el descubrimiento de la geometría como un sistema deductivo. (Siglo VI AC) (Levi, 2006). Así fue el origen de la geometría como una ciencia empírica.
Antes de Euclides (300 AC), la geometría era un montón de resultados sueltos. A partir de él se fue convirtiendo en un gran sistema de sistemas relacionados entre sí (Levi, 2006). El libro geométrico más famoso de la antigüedad, Los Elementos, floreció en el 300 AC y sería un ejemplo paradigmático del método de pensar aristotélico. (Klimosvky, 2000). Es posible que su nombre “Elementos” tenga relación con la progresión de las proposiciones de los más sencillo a lo más complejo y su objetivo fue el de recopilar todos los contenidos matemáticos de daban vueltas en esa época.
Se dice que Euclides recibió su educación en Atenas, de los discípulos de Platón, y fundó una escuela en Alejandría que desplazaba a la de Atenas como centro del saber, y todo el conocimiento aristotélico se trasladó a la capital egipcia. La actividad científica del Liceo se trasladó a Egipto y es en el museo de Alejandría donde se emprendió la tarea de escribir la historia de la matemática (Klimosvky, 2000). Varios años después de la muerte de Aristóteles, Euclides realiza esta fundamentación en Los Elementos, respetando la metodología aristotélica, mostrando la gran influencia del maestro y dando mucha confianza al intelecto humano y surgimiento de la ciencia. Aristóteles, en su método demostrativo, ofreció una metodología básica para el desarrollo de las disciplinas científicas, pero además propuso para la matemática lo que hoy se llamaría “método axiomático clásico”.
Este método consiste en:
- Captación de ciertas verdades simples, básicas, que denominamos axiomas y otras de orden convencional denominados postulados; o sea puntos de partida, evidentes y simples.
- Deducción con el empleo de la lógica, a partir de los principios otras proposiciones o los teoremas.
El modelo de Euclides se basó en el sistema de axiomas y postulados que desde la Grecia clásica y hasta avanzado el siglo pasado se creyó que eran reglas que regían los objetos físicos del espacio. Este sistema axiomático con axiomas, postulados y teoremas deducidos de los anteriores que no había duda que este sistema describiera con precisión y exactitud el mundo físico. Los axiomas son verdades evidentes por sí mismos y por lo tanto indemostrables. Aristóteles los denominó indistintamente como principios, noticias o nociones comunes (Vera, 1963).
Las nociones comunes o axiomas que figuran en Los Elementos son:
- Cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
- Si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales.
- Si iguales se restan de iguales, los restos son iguales.
- Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
- El todo es mayor que la parte.
Postulados:
- Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.
- Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.
- Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.
- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
- Si una recta que corte a otras dos, forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma sea menor que dos rectos. De los cinco postulados de Euclides, los cuatro primeros resultan verdades evidentes para nuestra intuición geométrica. Pero, el quinto no goza de la misma cualidad, en eso difiere de los otros. El mismo Euclides lo introdujo después de la Proposición 28 cuando ya era inevitable.
Comenzó la duda con el quinto postulado, puesto que no parecía tan autoevidente como los otros. ¿Es independiente el quinto postulado? Decir que no es independiente implica que puede deducirse de los demás. Euclides sospechaba que no lo era. Se dice que el propio Euclides es el primer geómetra no euclidiano (Santaló, 1961). Intentó demostrarlo y su contra-recíproco, así pues, se afirma no estaba seguro sobre este postulado. A partir de la negación del éste se obtuvieron resultados no intuitivos, pero no contradictorios lógicamente. Aquí se encuentra el germen de otras geometrías, las no euclidianas.
En un momento de la historia la intuición no funcionaba pero, lejos de reducir el horizonte geométrico, fue como un estímulo que lo impulsó hacia el progreso.
La naturaleza de los objetos geométricos
Como mencionamos, la Geometría tuvo un origen práctico y la etimología de la palabra nos recuerda las mediciones de las tierras que realizaban los egipcios. Por otro lado, la Geometría de los griegos se desarrolló alrededor del mundo de las formas, sus componentes y relaciones. Alsina y Fortuny (1995), proponen considerar a la geometría con la Matemática del Espacio, como un cuerpo ordenado de conocimientos que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales.
Actualmente, también estudia objetos tales como punto, recta, plano, triángulo, polígono, etc., que designan entidades ideales, abstracciones o conceptos. La geometría trata objetos teóricos, pero su aprendizaje se apoya muchas veces en las representaciones gráficas. Así pues, los entes geométricos son de naturaleza muy distinta a los objetos perceptibles. Pensemos en “formas controladas por su definición” (Godino, 2002, p. 456).
La diferencia del estudio de la Geometría respecto a otras áreas de la matemática “radica en la omnipresente e inevitable dialéctica entre la conceptualización y visualización” (Bressan, 2013, p.116). La visualización corresponde al saber ver el espacio con el motor de la intuición y el análisis de un concepto debe realizarse con las leyes de la deducción lógica para que se pueda comunicar por medio de enunciados (Alsina, 1995). Con esta perspectiva, experimentación y demostración van siempre de la mano.
Itzcovich (2005) expresa que saber hacer geometría es “inferir, a partir de datos y con el apoyo de las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación” (p.12). Por lo tanto, la actividad geométrica no es sólo una actividad empírica, es una actividad racional. Los que las estudian, deberían desarrollar su capacidad en el marco del pensamiento crítico, el razonamiento lógico y la resolución de situaciones problemáticas. Por lo que, su estudio no debería aislarse del mundo ni de otras áreas de la matemática por lo tanto enseñar y aprender esta asignatura en los tiempos actuales, donde las tecnologías han abierto una ventana a lo visual y lo virtual, exige una atención inmediata. Necesidad y desafío se conjugan en esta área de la matemática que fue relegada por mucho tiempo (Bressan, 2013).
La geometría en la escuela de nivel primario
Es reconocido por los docentes de matemática que el trabajo geométrico ha perdido espacio en la enseñanza obligatoria (Itzcovich, 2005). Las razones son varias, pero entre algunas destacables son:
- La imposibilidad por parte de los docentes de hallar problemas estimulantes verdaderos desafíos que involucren al alumno en el trabajo geométrico.
- La enunciación de contenidos en los documentos curriculares estaban llenos de vocabulario y definiciones, sin mucha aplicación y aunque esto va cambiando, el cambio es muy lento.
- Además el trabajo con otras áreas de la matemática aritmética y álgebra deja “caer” del programa por falta de tiempo. La necesidad de desarrollar contenidos aritméticos y algebraicos deja siempre relegada la geometría para el final de los cursos también del nivel secundario (Itzcovich, 2005).
Desde el nivel primario se pone de manifiesto en docentes la emergencia y necesidad de que los alumnos manejen cálculo, lo que hace que se priorice la enseñanza de la aritmética antes de los conceptos geométricos (Fasello y Osio, 2011).
Podemos advertir que los niños se enfrentan más a menudo con problemas geométricos y del espacio que con problemas aritméticos (Uribe Garzón, 2014). A pesar de que los niños ingresan a la escolaridad con muchas nociones intuitivas del espacio las cuales los ayudan a resolver problemas diarios, los maestros en lugar de aprovechar y ampliar esas nociones privilegian la aritmética.
Así que el privilegio de lo aritmético, principalmente en la escolaridad primaria, responde, también, a las presiones de las comunidades que le dan más relevancia los saberes aritméticos que a los geométricos. (Documento curricular, 2014)
Aunque los documentos curriculares no norman la secuencia de contenidos, y suelen dar libertad para distintas organizaciones, es usual que la forma en la que aparecen mencionados en dichos documentos funcione como sugerencia/norma de orden y organización. De este modo, Geometría, Medida, Probabilidad y Estadística suelen figurar al final de las presentaciones y ese lugar es trasladado sin mediar otra decisión, a los programas de los cursos, lo mismo que se encuentra en la mayoría de los libros de textos utilizados en las aulas.
La escuela tiene la obligación y responsabilidad de socializar el saber. Una de las razones principales por las cuales es importante su enseñanza es porque la escuela es un lugar de creación, de transmisión y de conservación de una parte seleccionada de la cultura. Y la geometría forma parte de ella. No implica solamente la transmisión de contenidos si no entrar en el juego que plantea la matemática (Artigue, 1995).
Los alumnos deben aprender en la escuela no solo resultados de la Matemática, sino también su forma de pensamiento y de producción de conocimiento. En este sentido, la geometría es un modelo de razonamiento y deducción muy importante para la formación cultural de los sujetos. “Creemos que hay un modo de estudiar geometría que permite que los alumnos desarrollen un modo de pensar, propio de la matemática, que solo existe si la escuela lo provoca y al que creemos que todos los alumnos tienen derecho a acceder. Es la relación con el saber la que está en juego” (Doc .N° 5 GCBA, 1998)
La geometría en la escuela primaria aparece como un contenido adicional y sin una fuerte secuenciación por lo cual le otorga más libertad al docente (Bressan, 2013). Entonces es necesario que el maestro considere la importancia de su enseñanza, perdiendo el temor a aportar sus experiencias, dominar los contenidos y la forma particular de estudiar esta rama de la matemática. Por todo lo anterior nos interesamos en reflexionar sobre la formación de los docentes y realizamos las siguientes consideraciones.
Consideraciones sobre la formación de los maestros
“La geometría es considerada como una herramienta para comprender, describir e interactuar con el espacio en que vivimos, es quizá la parte más intuitiva, concreta y
unida a la realidad de las matemáticas” (ICMI citado en Blanco y Barrantes, 2003, p.337). Desde ya que hay acuerdo en la Comunidad Científica sobre el valor del estudio de la geometría, pero también en que perdió su lugar tanto en la escuela primaria como en la secundaria.
Algunos estudiosos concuerdan que uno de los problemas es la pobre formación de los docentes, y critican a los institutos de formación, por la falta de concordancia entre lo que se les enseña y lo que se le pedirá desarrollar en su futuro profesional (Blanco y Barrantes, 2003). Y, en general, se tiende a reproducir los modelos con los que experimentaron cuando eran alumnos (ICMI, citado en Blanco y Barrantes, 2003). El docente, entonces, debe cambiar su posición de reproductor de experiencias ajenas, a ser un productor de nuevas prácticas (Fioriti, 2017). Pero la falta de acuerdos entre los que se les enseña y lo que se les pedirá hace difícil esta condición.
Gran parte de los trabajos de investigación actuales, sobre la enseñanza de la geometría, se refieren a la innovación sobre el estudio de esta con el uso de la tecnología (Ferragina, 2012), la necesidad de la creación de nuevos materiales y la capacitación para los docentes. Estos tres ejes son pilares de una evolución sustentable a futuro de la enseñanza de la geometría.
- La necesidad de incorporar más contenidos geométricos en la formación docente. Los propios docentes afirman la necesidad de conocer más del tema ya que queda desdibujado en su formación docente y al completarse la necesidad de que el alumno calcule bien, se deja de lado siempre el estudio de las figuras y cuerpos (Fasello et al. 2011).
- La importancia de desarrollar materiales innovadores para incorporar más geometría en el aula.
Los futuros docentes se sienten entusiasmados por los nuevos materiales y a la vez plantean la necesidad de mayor práctica y re-pensar el aplicar nuevas situaciones didácticas en el aula de la escolaridad primaria. Tienen la convicción de que su entusiasmo también puede replicarse en los alumnos (Fasello et al. 2011).
- La aplicación de programas como GG que permite agilizar y motivar al alumnado. (Fasello et al. 2011).
El documento de la Nueva Escuela Secundaria de la C.A.B.A. (NES, 2014) reconoce que los alumnos son nativos digitales, ya que crecieron rodeados de nuevas tecnologías y tienen desarrolladas habilidades para enfocarse en multitareas, así como aprender mediante tutoriales. Nuestros estudiantes, futuros docentes, son nativos digitales, por lo que, debería contar con bases teóricas e instrumentos conceptuales que le permitan el ejercicio de su profesión en todas sus facetas y la tecnología, incorporada en el aula, es un asunto de estos días.
También el docente actual puede reconocerse a sí mismo como un profesional en constante evolución explorando sus fortalezas y debilidades. Siempre fue, y será cada vez más, una profesión compleja ya que la sociedad exige al docente conocimientos y competencias que no siempre fueron adquiridas en la formación inicial y tampoco, en algunos casos, a partir de la propia experiencia. (Sandoval Ruiz, 2011).
Se requieren varias condiciones, para ser docente, entre ellas la capacidad de diseñar estrategias para estimular el esfuerzo de los alumnos y promover el aprendizaje autónomo e incorporar las tecnologías de la información y la comunicación en los procesos de formación profesional y los de enseñanza y aprendizaje de los estudiantes. Este último punto obligaría a los docentes a una transformación continua de su práctica. El maestro debería utilizar y emplear las Tic, en el aula, con la misma naturalidad con la que utiliza el pizarrón. Entonces es necesario agregar la tecnología ya en su formación para que resulte natural en su práctica docente (Sandoval Ruiz, 2011).
Así pues, varios autores concuerdan con la necesidad de incorporar la tecnología en la formación del docente, y en particular en el estudio de la geometría.
La tecnología en el aula de geometría
La utilización de software de geometría dinámica otorga, a los alumnos, un ambiente beneficioso para revisar, explorar, indagar y re-pensar las tareas. Ser nativos digitales es un beneficio, en este caso, pues podrían adaptarse fácilmente a las reglas del aprender con las nuevas tecnologías de este modo, los alumnos cambian su situación en el aula donde podrían probar y ensayar sin temor al error.
Varias preguntas para el comienzo de una reflexión: ¿Pueden las TIC contribuir a mejorar la comprensión de los conceptos geométricos?, ¿Cuáles deben ser las situaciones de enseñanza que permitan un aprendizaje auténtico de la Geometría?
Incorporar GG en un proceso de enseñanza implica varias cuestiones, una de ellas el manejo de las herramientas tecnológicas.
Cuestiones tecnológicas
Los alumnos, nativos digitales, quieren utilizar toda la tecnología a su alcance y ésta puede ingresar como herramienta de desarrollo de los aprendizajes. Podemos nombrar algunos factores importantes para incorporar las TIC en las clases.
Las tecnologías sirven (Litwin, 2005):
- como factor motivacional,
- para despertar interés,
- para motivar-modelar-ilustrar,
- para tender puentes y favorecer comprensiones,
- para incorporar nuevos materiales que reorganizan la información, entre otros.
Todos estos factores de fácil comprensión y verificación, salvo los dos últimos en los que debemos prestar mayor atención.
Cuestiones didácticas y disciplinares
La versatilidad y potencia de la tecnología hacen que tengamos que re-examinar la matemática que aprenden nuestros alumnos. Al utilizar estas herramientas se desplaza la preocupación por la obtención de un resultado y la actividad se centra en la construcción de conceptos y en la búsqueda de nuevas formas de resolución (Litwin, 2005).
Aquí el rol del docente es fundamental porque pregunta, dirige el sentido de la clase, orienta, explicita objetivos e integra todo lo aprendido (Villella, 2012).
El profesor deberá ser:
- un gestor diferente del aula y sobre todo del proceso de enseñanza y aprendizaje.
- un facilitador del proceso de enseñanza.
- promotor del auto aprendizaje.
- debe favorecer la investigación.
- además debe modificar los mecanismos de observación, intervención y evaluación.
Se le exige mucho al docente, pero lo que se debe o es necesario, es posicionarse distinto al tradicional para convertirse en un orientador del aprendizaje (Sánchez Ilabaca, 2003).
El uso de la tecnología implica, también, una formación del docente en la reflexión sobre la práctica, ya que interpela los conocimientos de una manera diferente (Villella, 2012).
El peligro más inmediato es que al introducir la tecnología, y continuemos con el mismo tipo de tareas, nos encantaremos sólo con la visualización, mirando sólo que aparece en la pantalla, y se pierda parte de la esencia del trabajo geométrico (Fioriti, 2012). Analicemos brevemente este punto.
La visualización
En la sociedad actual predomina lo visual, por lo que la imagen asociada a un dibujo es la puerta de entrada a la geometría. Según Alsina (1995) la geometría va asociada con el arte de saber mirar y ver y “las imágenes más bellas y armoniosas tienen un fuerte
ingrediente geométrico” (p.60). El saber ver y el saber interpretar no son sinónimos ni tampoco son instantáneos, y debe haber un proceso de aprendizaje para tales habilidades.
La Geometría trata objetos teóricos, pero se sabe que su aprendizaje se apoya muchas veces en las representaciones gráficas. Según Duval (2001) debemos tomar en cuenta los procesos cognitivos que subyacen en la actividad geométrica y éstos son tres:
- Procesos de visualización
- Procesos de construcción
- El razonamiento
La visualización puede ser engañosa o imposible, pero sirve como un recurso intuitivo para demostrar, y la demostración dependerá del corpus de proposiciones (definiciones, teoremas, axiomas, etc.) que se tiene disponible.
La visión trabaja de diferentes maneras para la aprehensión operativa. Una situación sobre un gráfico puede ser vista como un desglose de varias configuraciones invitada al uso de alguna proposición. O sea que la figura es un recurso intuitivo para la aplicación de un teorema.
Pero un dibujo solo no informa sobre el dominio de variación de los elementos que lo constituyen (Laborde, 1998), es importante una descripción discursiva que determine el objeto geométrico.
Para algunas situaciones geométricas el comportamiento “ingenuo” es suficiente, pero el comportamiento matemático tiene que ver con razonamientos.
Aprender geometría sirve para desarrollar habilidades de razonamiento y de representación visual y favorecer la sinergia de estos procesos tan diferentes (Duval, 2001). Sirve para descubrir y desarrollar distintas formas de pensamiento, pero, para esto, hay que tener estar atentos en el proceso. Como nos referimos anteriormente, la tecnología requiere de saberes de forma diferente ya que las demostraciones que realizamos en papel y lápiz como una cadena de argumentos lógicos, sin auxilio de lo visual, constituían la validez de los procedimientos (Villella, 2017).
Para no perder de vista este proceso de aprendizaje de la geometría es necesario elegir el software más adecuado para la experiencia. El software GeoGebra se caracteriza por el dinamismo que otorga a las construcciones, muy diferente a las realizadas con lápiz y papel (Laborde, 1998). Además de ser un software libre y con posibilidades de uso en computadoras, tablets y teléfonos.
Vamos a estudiar el porqué de la elección.
El software Geogebra-GG
El GG es un software interactivo de matemática que trabaja en geometría, álgebra y cálculo en forma dinámica. Ofrece la vista gráfica, una vista numérica, otra algebraica y hoja de cálculo que permite apreciar un objeto matemático desde diferentes miradas (Fioritti, 2012). Además de ser libre y gratuito se actualiza periódicamente ya que cualquier usuario puede proponer modificaciones importantes que mejoren su funcionamiento y provecho en clase (Fioriti, 2012). Es un software de fácil instalación aún en los teléfonos y esto nos haría la tarea más sencilla ya que la sala de computación suele estar ocupada por otros cursos.
Lo que garantiza el dinamismo de los gráficos es la posibilidad de modificarlos por el movimiento de sus elementos o componentes. Por lo tanto, se puede “arrastrar” una componente para reconocer o verificar características propias de los objetos geométricos. El uso del arrastre en la vista gráfica fue muy importante en la actividad ya que por medio de éste podemos verificar propiedades de la figura (Ferragina, 2012).
Existe una característica importante en el programa GG, es la existencia de primitivas de dibujo puro y primitivas geométricas. Este software fue pensado para permitir la distinción y la relación entre lo visual y lo geométrico, ya que lo geométrico es una modelización de lo visual. Un dibujo “a ojo” se deformará si con el mouse movemos algunos de sus elementos, este ha sido realizado con primitivas de dibujo puro. Esto sería una novedad para los alumnos, ya que no tienen conocimiento del programa, pero si las posibilidades para investigar y trabajar en grupos (Laborde, 1998).
Aparecen en escena nuevas prácticas como: arrastrar, dejar traza, ocultar, exponer… entre otras que el docente proponga para que invite a la conjetura, verificación, exploración, validación, justificación, etc. (Villella, 2017) y de esta forma se supere la visualización para lograr transitar por los procesos descriptos por Duval. (4.3)
El trabajo con un software nuevo es un proceso que no es lineal y comienza con una especie de estallido por la novedad de incorporar tecnología en el estudio y un segundo momento de depuración, donde se estabilizaron las nuevas técnicas instrumentales. Por lo tanto, existe una depuración y una evolución en el uso de las herramientas (Laborde, 1998).
La enseñanza con la incorporación del software nos brinda otra mirada, más dinámica, más humana del aprendizaje y esto seguramente repercutirá en la forma de enseñar de los nuevos docentes decididos a ser protagonistas de cambios en las aulas.
Aprender a enseñar con un software de geometría dinámica no es una tarea simple, es necesario tiempo, recursos y seguridad para que todo evolucione con una mirada hacia el futuro. Esto recién empieza, ya que hemos dado unos pocos pasos.
Confiamos que estamos en un buen camino.